泰勒级数到底是什么？为何用一堆多项式去逼近函数

我是环球U+的数学老师 Max，今天是AP Calculus BC难点系列的最后一集，泰勒级数（Taylor Series）到底是啥？为啥看起来这么复杂？

简单说，Taylor Series是一种方法，用一堆多项式去逼近一个函数。有点像之前学的tangent line approximation，但是后面多了更精确的近似项。

比如说：

像是 eˣ 、sin x、ln(1 + x) 图像很弯绕，我们如果想算函数值y的时候 直接代x value进去好像有点难算，那么我们可以用泰勒级数，把它们拆成一长串很规则的近似，n越大可以理解成越多项越精确，就像这样：

这个 a 是展开点（center），一般会考你以 a = 0 展开，也叫 Maclaurin Series。

那为什么要用 Taylor Series？

✔️ 它可以让我们在复杂函数附近，用简单的多项式来估值


✔️ 计算器无法处理的时候，Taylor 是最强手动近似工具


✔️ AP 考试会考你展开前几项、判断收敛convergence、误差估计（error bound）

几个要会背的常见Maclaurin Series about（a = 0）时候的泰勒展开如下：

注意这些式子都有条件限制，比如收敛区间 |x| < 1等，考试会考你判断它们的validity。

总结一下：

Taylor Series = 把函数翻译成无限多项式

越往后加的项越小，越能逼近原函数。

我是 Max，这就是我们 AP 微积分 BC 难点系列的最后一集。